常见反直觉定理
生日悖论
假设房间里有23人，那么两个人生日是同天的概率将大于50%。我们很容易得出，任何一个特定的日子里某人过生日的概率是1/365。
所以这个理论看似是无法成立，但理论与现实差异正源自于：我们的唯一要求是两个人彼此拥有同一天生日即可，不限定在特定的一天。 否则，如果换做某人在某特定日期生日，例如2月19日，那么23个人中概率便仅为6.12%。
另一方面如果你在有23个人的房间挑选一人问他：“有人和你同一天生日吗？”答案很可能是否定的。
但如果重复询问其余22人，每问一次，你便会有更大机会得到肯定答复，最终这个概率是50.7%。
结论 当房间里有23人，那么存在生日相同的概率超过50%, 如果有60人，则超过99%
生日悖论的应用
- 日悖论普遍的应用于检测哈希函数：N 位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是 2N 次而是只有 2N/2 次。这一结论被应用到破解密码哈希函数 (cryptographic hash function) 的 “生日攻击” 中。
- 生日问题所隐含的理论已经在 [Schnabel 1938] 名字叫做 “标记重捕法” (capture-recapture) 的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。
巴拿赫-塔尔斯基悖论(分球定理)
数学中，有一条极其基本的公理，叫做选择公理，许多数学内容都要基于这条定理才得以成立。
在1924年，数学家斯特·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基根据选择公理，得到一个奇怪的推论——分球定理。
该定理指出，一个三维实心球分成有限份，然后可以根据旋转和平移，组成和原来完全相同的两个实心球。没错，每一个和原来的一模一样。
分球定理太违反直觉，但它就是选择公理的严格推论，而且不容置疑的，除非你抛弃选择公理，但数学家会为此付出更大的代价。
在现实生活中我们没有任何办法能将一个物体凭空复制成两个。但事实上他却是成立的，这个结果似乎挑战了物理中的质量守恒定律，但似乎又是在说一个物体的质量可以凭空变为原来的两倍？
但如若原质量是无限的话，翻倍后还是无限大，那么从这一层面出发来看这一理论也并没有打破物理法则。
有不同层次的无穷大(无穷大也有等级大小)
你可能从来想象不到，有一些无穷大比其他的无穷更大。无穷大应该被称为基数，并且一个无穷大如果比另一个无穷大拥有更大的基数，则说它比另一个无穷大要大。
在二十世纪以前，数学家们遇到无穷大都避而让之，认为要么哪里出了问题，要么结果是没有意义的。
直到1895年，康托尔建立超穷数理论，人们才得知无穷大也是有等级的，比如实数个数的无穷，就比整数个数的无穷的等级高。
还有许多关于无穷大的基数大大出乎我们的意料。举一个非常经典的例子：整数比奇数多吗？你可能会毫不犹豫的回答，那是当然！
因为整数多出了一系列的偶数。但答案是否定的，他们拥有相同的基数，因而整数并不比奇数多。知道了这个道理，就不难回答这个问题了吧：有理数多于整数吗？不，有理数与整数相同多。
实数通常被认为是连续统，并且至今并能完全知道，是否有介于整数基数和连续统基数的无穷大？这个猜想被称为连续统猜想。
这也太违反直觉了，我们从来不把无穷大当作数，但是无穷大在超穷数理论中，却存在不同的等级。
哥德尔不完备定理
“可证”和“真”不是等价的
1931年，奥地利数学家哥德尔，提出一条震惊学术界的定理——哥德尔不完备定理。
该定理指出，我们目前的数学系统中，必定存在不能被证明也不能被证伪的定理。该定理一出，就粉碎了数学家几千年的梦想——即建立完善的数学系统，从一些基本的公理出发，推导出一切数学的定理和公式。
它的逻辑是这样的：
- 任何一个足够强的系统都存在一个命题，既不能被证明也不能被证伪（例如连续统假设）
- 任何一个足够强的系统都不能证明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾
以上两条定义即著名的哥德尔不完备定理。他的意义并不仅仅局限于数学，也给了我们深深地哲学启迪。
蒙提霍尔问题
三门问题亦称为蒙提霍尔问题，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔。
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。
当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？
不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。
这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。
巴塞尔问题
将自然数各自平方取倒数加在一起等于π²/6。
一般人都会觉得，左边这一坨自然数似乎和π（圆的周长与直径的比值）不会存在任何联系！然而它就这么发生了！
阿贝尔不可解定理
曼德勃罗集
德勃罗集是一个复数集，考虑函数f(z)=z²+c，c为复常数，在这为参数。
若从z=0开始不断的利用f(z)进行迭代，则凡是使得迭代结果不会跑向无穷大的c组成的集合被称为曼德勃罗集。规则不复杂，但你可能没预料到会得到这么复杂的图像。
当你放大曼德勃罗集时，你会又发现无限个小的曼德勃罗集，其中每个又亦是如此…（这种性质是分形所特有的）
这真的很契合那句俗话“大中有大，小中有小”，下面有一个关于放大他的视频，我想这绝对令人兴奋不已。
一维可以和二维甚至更高维度一一对应
按照我们的常识，二维比一维等级高，三维比四维等级高，比如线是一维的，所以线不能一一对应于面积。
但事实并非如此，康托尔证明了一维是可以一一对应高维的，也就是说一条线上的点，可以和一块面积甚至体积的点一一对应，或者说他们包含的点一样多。
证明:
在1890年，意大利数学家皮亚诺，就发明了一个函数，使得函数在实轴[0,1]上的取值，可以一一对应于单位正方形上的所有点，这条曲线叫做皮亚诺曲线。
这个性质的发现，暗示着人类对维度的主观认识，很可能是存在缺陷的。
希尔伯特的旅店
希尔伯特有一个旅店，旅店里有无限多间房间。有一天所有房间都住满了人。然后又来了一名旅客。希尔伯特说：很抱歉，房间都住满了。旅客说：没关系。你可以让第一间房间的人住第二间房，第二间房间的人住第三间房，如此类推，我就可以住第一间房间了。也可以让第一间房间的人住第二间房，第二间房间的人住第四间房，以此类推，我也可以住第一间房间。
甚至，按照这种做法，无论再来多少客人，只要客人是有限个，这个住满的酒店都可以继续空出房间来给他们安排。 他的说法很反直觉，但是从数学角度上，他是正确的。
为了讨论这个问题，我们首先要问：全体正整数和全体正偶数谁多？ 大部分人的直觉都是：整数多。因为整数包含奇数和偶数，所以整数多。
但是，正整数集合和正偶数集合都是无限多个元素。在数学上，无限多个元素的集合比较多少时要使用“势”的概念。也就是：如果两个集合可以建立一个一一对应的关系，那么这两个集合的元素个数就是一样多的。 所以，如果我们令x表示正整数，y表示正偶数，建立对应关系y=2x，那么正整数和正偶数之间就建立了一一对应的关系，所以正整数集合和正偶数集合是等势的，或者说全体正整数和全体正偶数一样多。 按照这种观点，我们可以继而可以证明全体正整数数和全体非负整数一样多：建立一一对应关系：y=x-1，x属于正整数，y属于非负整数。 所以，客人来到希尔伯特的酒店住宿，提出的两种方案都是合理的。第一种方案基于全体正整数（房间）和全体非负整数（客人）是一样多的，第二种方案是基于全体正偶数（房间）和全体正整数（客人）是一样多的。
有理点
我们把平面上横坐标和纵坐标都为有理数的点称为 有理点.
显然，平面上的有理点有无穷多个，甚至不难证明它们在整个平面内是稠密的，即密密麻麻地铺满了整个平面. 设想一下，如果我们在平面上随手画一条曲线，直觉上我们可能认为这根曲线应该会经过无限多个有理点，也就是说曲线上有无限多个有理点.
但事实上并非一定如此！比如我们非常熟悉的曲线 y=e^x，它除了(0, 1)外没有其他任何有理点，也就是说它非常神奇地避开了处处稠密的有理点，这就挺反直觉的.
买彩票
买彩票中奖的概率问题。同一天内买30注不同的号码中一等奖概率高还是连续30期每次买一注至少有一次中大奖的概率高。我想当然得人为是后者概率高，但是实际上经过计算后，是前者概率高，并且两者的中奖奖金期望值是相同的。